Les mesures descriptives són la base de l'Estadística Descriptiva i, encara que sonin a una cosa molt tècnica, en realitat les fem servir diàriament sense adonar-nos-en. Cada cop que parles de “nota mitjana d'un examen”, de “la majoria de la gent prefereix…” o que “hi ha molta diferència entre uns sous i els altres”, estàs utilitzant, sense saber-ho, idees que tenen a veure amb aquestes mesures.
en qualsevol anàlisi de dades, ja sigui en ciències socials, economia, salut o en el dia a dia d'una empresa, necessitem eines que ens ajudin a resumir, ordenar i entendre grans quantitats dinformació. Això és exactament el que fan les mesures descriptives: condensen munts de números en uns quants valors fàcils d'interpretar, que ens permeten veure d'una ullada què passa amb les variables que estudiem.
Què són les mesures descriptives i per a què serveixen
Quan parlem de mesures descriptives en estadística ens referim a un conjunt de valors numèrics que es calculen a partir de les dades i que resumeixen diferents aspectes del comportament. Aquestes mesures ens permeten respondre preguntes del tipus: quin és el valor “típic”?, com s'agrupen les dades?, hi ha molta variabilitat?, fins a quin punt s'assemblen entre si les observacions?
Per organitzar aquesta tasca, les mesures descriptives solen agrupar-se en diverses categories: mesures de posició o tendència central, que indiquen on “se situen” les dades; mesures de dispersió, que ens diuen quant s'allunyen els uns dels altres; i altres mesures complementàries, com ara els coeficients relatius o algunes mesures de forma, que poden ajudar a afinar l'anàlisi.
En molts apunts i manuals universitaris, les mesures descriptives apareixen acompanyades de exemples numèrics senzills, com a petits conjunts de notes, sous o quantitats venudes. Això és perquè la millor manera d'entendre què aporten cadascuna d'aquestes mesures és veure com es calculen i quina informació concreta ens donen sobre un conjunt ampli d'observacions.
Mesures de posició o tendència central
Les mesures de posició o tendència central ens indiquen quin valor es pot considerar més representatiu d'un conjunt de dades. Ens donen una idea d'on es “concentren” les observacions, o quina seria, per dir-ho així, el valor típic o central. Les més utilitzades són la mitjans de comunicació, l' mitjana i la moda, cadascuna amb les seves peculiaritats i usos recomanats.
Aquestes mesures s'apliquen tant a dades sense agrupar (llistes de valors individuals) com a dades agrupades en taules de freqüències. Als materials d'estadística de moltes universitats, es comença explicant la versió més senzilla, a partir d'un conjunt de valors X1, X2, …, Xn, per després generalitzar casos més complexos. L'important és entendre què representa cada mesura i quan té sentit fer-la servir.
Mitjana mostral o mitjana
La mitjana mostral probablement és la mesura de tendència central més coneguda. Si tenim n dades X1, X2, …, Xn, la mitjana mostral és la mitjana aritmètica, és a dir, la suma de tots els valors dividida entre el nombre total d'observacions. És la famosa “mitjana” de què es parla en comentar notes, salaris, temps d'espera o qualsevol altra magnitud quantitativa.
Formalment, si truquem X̄ a la mitjana mostral, es calcula com a X̄ = (X1 + X2 + … + Xn) / n. En molts apunts es presenta aquesta definició de forma compacta, però l'essencial és entendre que la mitjana reparteix de manera uniforme la “quantitat total” entre tots els individus. Per exemple, si sumem les notes d‟un grup d‟estudiants i dividim pel nombre d‟alumnes, obtenim una nota mitjana que ens indica el rendiment general del grup.
La mitjana mostral té propietats molt útils, però també un inconvenient important: és molt sensible a valors extrems. Si dins un conjunt de dades hi ha un valor molt més gran o molt més petit que la resta, aquesta dada “arrossegarà” la mitjana cap amunt o cap avall. Per això, en situacions en què hi ha outliers molt marcats, potser no és la mesura més adequada per resumir la posició.
Moda mostral
La moda mostral és el valor que més es repeteix al conjunt de dades. Es defineix com la dada amb més freqüència absoluta, és a dir, aquella que apareix més vegades. A diferència de la mitjana, no s'obté mitjançant operacions aritmètiques sinó a partir d'un recompte de quantes vegades s'observa cada valor possible.
Un detall important és que la moda pot no existir o no ser única. Pot passar que tots els valors siguin diferents i cap no es repeteixi més d'una vegada; en aquest cas, la distribució es diu amodal. També pot passar que hi hagi dos o més valors amb la mateixa freqüència màxima; llavors parlem de distribucions bimodals o multimodals, i es consideren diverses modes simultàniament.
La moda resulta especialment útil quan treballem amb variables qualitatives o categòriques, en què no té sentit calcular una mitjana numèrica. Per exemple, si volem saber quina és la preferència majoritària entre diverses opcions de resposta, la moda ens diu quina categoria tria amb més freqüència la gent enquestada.
Mitjana mostral
La mitjana mostral és el valor que ocupa la posició central quan ordenem les dades de menor a més gran. Per obtenir-la, primer es reordenen les observacions, i després es localitza la dada del medi. Si el nombre d'observacions és imparell, la mitjana és exactament aquest valor central; si és parell, es defineix com la mitjana dels dos valors centrals.
En molts exemples senzills, s'expliquen aquests passos de manera molt visual: es llisten les dades, s'ordenen, i es “titllen” per fora cap a dins fins a quedar-nos amb el que queda al centre. D'aquesta manera es veu clarament que la mitjana és el punt que divideix la mostra en dues meitats: el 50% de les dades queda per sota i l'altre 50% per sobre.
Un detall interessant és que, a diferència de la mitjana, la mediana no es veu tan afectada per valors extrems. Si afegim un valor molt gran o molt petit a un conjunt ordenat, és possible que la mitjana a penes canviï, mentre que la mitjana sí que es desplaça de forma notable. Per això, quan hi ha outliers o la distribució és molt asimètrica, la mediana sol considerar-se una mesura més robusta de tendència central.
Exemple de mitjana, mediana i moda
Als materials docents sol aparèixer un exemple anàleg a aquest: es consideren les dades 3, 5, 7, 7, 8, 9 i es demanen les principals mesures de posició. La mitjana es calcula sumant tots els valors i dividint entre el nombre total de dades: (3+5+7+7+8+9)/6=39/6=6,5. Així, la mitjana mostral és 6,5, que seria el valor mitjà del conjunt.
Si mirem la llista ordenada, veiem que els valors centrals són el tercer i el quart, que en aquest cas són 7 i 7. La mediana s'obté prenent la mitjana d'aquests dos valors, cosa que en dóna una mitjana mostral igual a 7. Com que estan repetits, la mitjana coincideix exactament amb aquest valor, que actua com a punt d'equilibri per al 50 % inferior i el 50 % superior.
Pel que fa a la moda, només cal fixar-se en quin valor apareix més vegades. En aquest exemple, el número 7 es repeteix dues vegades, mentre que els altres apareixen una sola vegada. Per tant, la moda mostral també és 7. En aquest conjunt de dades es dóna la circumstància que mitjana i moda coincideixen, però no és una cosa que passi sempre.
Aquest tipus d'exemples numèrics senzills són molt habituals a les presentacions d'Estadística Descriptiva i serveixen per reforçar la idea que cada mesura de posició aporta un matís diferent: la mitjana descriu l'equilibri global, la mitjana la posició central resistent a valors extrems i la moda la categoria o valor més freqüent.
Mesures de dispersió
A més de saber quin és el valor típic o central, interessa saber com de dispersos estan les dades al voltant aquesta posició. No és el mateix que totes les observacions estiguin molt juntes que hi hagi grans diferències entre les unes i les altres. Les mesures de dispersió quantifiquen precisament aquesta variabilitat, és a dir, el grau de dispersió de les dades respecte a la tendència central.
Als apunts d'estadística més bàsics es presenten diverses mesures de dispersió: el rango, l' variància, l' desviació típica i coeficient de variació. Cadascuna ens aporta una manera diferent de veure quanta diferència hi ha entre els valors d'una variable, i es fan servir de forma complementària per tenir una visió completa del comportament de les dades.
Rang
El rango és probablement la mesura de dispersió més simple de totes. Es defineix com la diferència entre el valor màxim i el valor mínim de les dades. Si ordenem les observacions de menor a major com a X1 ≤ X2 ≤ … ≤ Xn, el rang es calcula com a R = Xn − X1. Aquesta fórmula apareix sovint en els materials docents com la primera aproximació a la idea de dispersió.
El rang ens dóna una informació immediata sobre la amplitud total de les dades: indica quantes unitats separen el valor més petit del més gran. Tot i això, té una limitació important: només depèn d'aquests dos valors extrems i no té en compte com es distribueixen les dades intermèdies. Per això, encara que és útil com a indicador ràpid, sol complementar-se amb altres mides més elaborades.
diferència
La variància és una mesura de dispersió que té en compte totes les observacions i es basa en les diferències quadràtiques respecte a la mitjana. Intuïtivament, mesura quant s'allunyen, de mitjana, les dades de la mitjana mostral. Com més gran sigui la variància, més dispersos estan els valors al voltant de la mitjana; com més petit, més concentrats.
Als apunts d'estadística es presenta la variància amb la definició formal, però a l'hora de calcular-la se sol utilitzar una fórmula equivalent més còmoda, que evita haver de treballar directament amb totes les diferències al quadrat. Per a dades mostrals, la variància acostuma a representar-se per s² i, encara que no sempre s'entra en tots els detalls teòrics als nivells inicials, s'insisteix que es tracta d'una mitjana de quadrats de desviacions respecte a la mitjana.
Un aspecte a tenir en compte és que la variància s'expressa en unitats al quadrat. Per exemple, si la variable es mesura en euros, la variància es mesura en euros quadrats, cosa que no té una interpretació directa tan intuïtiva. Aquest és un dels motius pels quals sol preferir-se la desviació típica, que torna la mesura a les unitats originals.
Desviació típica o estàndard
La desviació típica, també anomenada desviació estàndard, és l'arrel quadrada de la variància. D'aquesta manera, si la variància mostral és s², la desviació típica és s. En prendre l'arrel quadrada, es torna a les unitats originals de la variable, cosa que fa que aquesta mesura sigui molt més fàcil d'interpretar a la pràctica.
A la docència universitària d'estadística es recalca que la desviació típica no s'ha de confondre amb l'error típic o l'error estàndard. Encara que s'assemblen els noms, l'error estàndard és un concepte d'estadística inferencial relacionat amb la variabilitat d'un estimador, mentre que la desviació típica és una mesura de la dispersió de les dades dins de la mostra. Aquest aclariment sol remarcar-se amb expressions com “ull, no confondre” per evitar malentesos.
La desviació típica ens diu, de manera aproximada, quant se separen les dades de la mitjana. En moltes distribucions, una proporció important de les observacions se situa dins de l'interval comprès entre la mitjana menys una desviació típica i la mitjana més una desviació típica. Per això, aquesta mesura és fonamental a l'hora de avaluar l'estabilitat o la variabilitat dades en nombrosos contextos.
Coeficient de variació
El coeficient de variació és una mesura de dispersió relativa que relaciona la desviació típica amb la mitjana. Tot i que l'expressió exacta pot variar segons la convenció, sol definir-se com el quocient entre la desviació típica i la mitjana, sovint multiplicat per 100 per expressar-ho en percentatge. És una eina útil quan volem comparar la variabilitat de diferents variables que tenen mitges molt diferents o unitats diferents.
Per exemple, si comparem salaris en dos sectors amb diferents escales, pot passar que un sector tingui una desviació típica més gran en termes absoluts, però un coeficient de variació menor, cosa que indicaria que, proporcionalment, els salaris estan més concentrats al voltant de la seva mitjana. En aquest sentit, el coeficient de variació resulta especialment interessant per analitzar la dispersió de forma relativa, més enllà de les unitats concretes de mesura.
Relació entre mesures de posició i dispersió
En una anàlisi de dades mínimament seriosa, no té sentit quedar-se només amb la mitjana o només amb la desviació típica. El més habitual és combinar mesures de posició i de dispersió per obtenir una visió més rica. Per exemple, podem tenir dos grups amb la mateixa mitjana però amb variàncies molt diferents; en aquest cas, encara que el valor central sigui el mateix, la realitat de cada grup és molt diferent.
Les mesures de posició ens diuen en quin entorn es mouen les dades, mentre que les de dispersió aclareixen com es reparteixen al voltant d'aquest entorn. Una mitjana alta amb poca dispersió indica un grup homogeni amb valors elevats; una mitjana similar amb molta dispersió reflecteix grans diferències entre les observacions individuals. Per això, a la pràctica, les taules i resums estadístics solen incloure sempre, almenys, una mesura de tendència central i una de variabilitat.
Als materials d'Estadística Descriptiva de diverses universitats apareix sovint l'estructura: definició de la variable, taula de freqüències, representació gràfica, càlcul de mitjana, mediana, moda i, a continuació, rang, variància, desviació típica i coeficient de variació. Aquesta seqüència de treball reflecteix la idea que les mesures descriptives formen un bloc coherent que permet entendre les dades des de diversos angles complementaris.
A més, a mesura que s'aprofundeix en la matèria, es poden introduir altres mesures relacionades, com ara els percentils, els quartils o les mesures d'asimetria i curtosi, que amplien l'anàlisi descriptiva. Tot i això, el nucli fonamental que s'explica en els primers temes d'estadística sol estar format precisament per les mesures de posició i les de dispersió que hem comentat.
Tot aquest conjunt de ferramentes té una utilitat pràctica molt clara: facilitar la presa de decisions basada en dades. Ja sigui al àmbit universitari, a l'administració pública oa una empresa privada, conèixer la posició i la variabilitat d'una variable clau ajuda a interpretar correctament la informació disponible ia evitar conclusions precipitades.
L'Estadística Descriptiva, i dins d'ella les mesures descriptives, permeten transformar llistes interminables de números en uns quants indicadors que són manejables i intuïtius. Gràcies a mitjana, mitjana, moda, rang, variància, desviació típica i coeficients relatius, podem fer-nos una idea molt precisa de com es comporten les dades, detectar patrons, identificar anomalies i establir les bases per a anàlisis més avançades si són necessàries.
