Els diagrames de sectors (també coneguts com a gràfic circular o gràfic de coca) són un d'aquells recursos visuals que tothom ha vist alguna vegada, encara que no sempre se sàpiga explicar bé. Solen aparèixer en llibres de text, informes econòmics, enquestes i fins i tot en presentacions d'empresa per mostrar d'una ullada com es reparteix un total entre diverses categories.
Encara que semblen molt senzills, darrere d'un diagrama de sectors n'hi ha una metodologia estadística clara: cada tros del cercle representa una part del total, i la mida d'aquest tros no es tria “a ull”, sinó que es calcula amb precisió a partir de les freqüències, els percentatges i els angles. Entendre com es construeixen i quan convé fer-los servir és clau per interpretar bé la informació.
Què és un diagrama de sectors
Un diagrama de sectors és un gràfic estadístic en forma de cercle que es divideix en porcions (sectors). Cada sector representa una categoria de la variable que estem estudiant, i la seva amplitud angular és proporcional a la freqüència amb què apareix aquesta categoria a les dades.
En termes senzills, es parteix d'una circumferència que simbolitza el 100% de les dades. Aquest cercle es parteix en trossos; cada tros ocupa un angle que depèn de quantes observacions pertanyen a aquesta categoria respecte del total. Si una categoria suposa el 50% de les dades, el seu sector ocuparà la meitat del cercle; si suposa el 10%, serà un tros molt més petit.
Des del punt de vista més teòric, un diagrama de sectors és una representació unidimensional: recull informació sobre una sola variable (per exemple, esport preferit, fruita favorita, mètode de transport, etc.), però al mateix gràfic es veuen alhora les freqüències absolutes o relatives i la distribució entre categories.
Aquests diagrames són especialment habituals per a les variables qualitatives (per exemple, tipus d'esport, marca triada, color preferit), encara que també es poden fer servir amb variables quantitatives quan s'agrupen en intervals o classes (per exemple, trams d'edat, rangs d'ingressos o categories de puntuació).
Característiques bàsiques del diagrama de sectors
La idea fonamental daquest tipus de gràfic és que les dades es representen en un cercle dividit en sectors. La clau és que l'angle de cada sector és proporcional a la freqüència de la categoria corresponent, de manera que l'àrea de cada tros reflecteix visualment aquesta proporció respecte del total.
El cercle complet té una amplitud total de 360 graus. Per tant, si sumem els angles de tots els sectors, el resultat ha de ser exactament 360°. Això assegura que no “falti” ni “sobre” informació i que tota la distribució estigui correctament representada al gràfic.
Com que la superfície de cada sector depèn directament de l'angle central que li correspon, existeix una proporcionalitat directa entre la quantitat de dades de cada categoria i l'angle que se li assigna. Si una categoria té el doble d'observacions que una altra, el sector també tindrà el doble d'angle.
Per això, per construir el diagrama s'utilitzen fórmules molt senzilles basades en regles de tres, que permeten passar de la freqüència (absoluta, relativa o percentual) al nombre de graus que ha d'ocupar cada sector dins del cercle.
Elements que intervenen en un diagrama de sectors
En un diagrama de sectors ben construït es combinen diversos elements estadístics: freqüència absoluta, freqüència relativa, percentatge i angles. Encara que pugui semblar una mica tècnic, en realitat aquests conceptes es fan servir de forma molt intuïtiva en preparar el gràfic.
La freqüència absoluta és simplement el nombre de vegades que apareix un determinat valor o categoria a la mostra. Per exemple, si en una classe 8 alumnes diuen que el seu esport preferit és el futbol, la freqüència absoluta de la categoria “futbol” és 8.
La freqüència relativa és la proporció que representa aquesta categoria sobre el total de dades. Es calcula dividint la freqüència absoluta entre el nombre total dobservacions. Si hi ha 20 alumnes i 8 trien futbol, la freqüència relativa del futbol serà 8/20 = 0,4 (és a dir, el 40%).
El percentatge no és més que la freqüència relativa expressada en tant per cent. Per passar de freqüència relativa a percentatge, es multiplica per 100. A l'exemple anterior, una freqüència relativa de 0,4 equival a un 40 % de preferència pel futbol dins de la classe.
La traducció de tot això al llenguatge del cercle es fa a través dels graus de cada sector. L'angle del sector indica quina part dels 360° totals correspon a cada categoria, i és la dada imprescindible per poder dibuixar el diagrama utilitzant un transportador d'angles.
Càlcul dels angles en un diagrama de sectors
Per passar de les dades d‟una taula al dibuix concret d‟un diagrama de sectors cal calcular la amplitud angular que correspon a cada categoria. Hi ha diversos procediments vàlids, tots basats en una regla de tres directa.
El mètode més habitual utilitza la freqüència relativa. Si la freqüència relativa d‟una categoria és fr (per exemple, 0,25), l‟angle del sector s‟obté multiplicant aquesta freqüència relativa per 360°. D'aquesta manera, la fórmula general és: Graus del sector = freqüència relativa × 360°.
També es pot partir de la freqüència absoluta, relacionant el nombre dobservacions de cada categoria amb el total. Si N és el nombre total de dades i ni la freqüència absoluta duna categoria concreta, solem plantejar la proporció: ni / N = angle sector / 360°. D'aquí en surt l'expressió angle sector = (ni / N) × 360°.
Una altra possibilitat és fer servir directament els percentatges. Si una categoria representa un p % del total, només cal fer p/100 × 360° per obtenir l'angle. Per exemple, si una categoria correspon al 25%, l'angle serà (25/100) × 360° = 90°.
En tots els casos, si s'han fet bé els càlculs, en sumar els graus de tots els sectors cal obtenir exactament 360 °. Aquesta és una bona manera de comprovar si hem comès algun error en els números abans de dibuixar definitivament el gràfic.
Exemple: preferències esportives en una classe
Imaginem una classe d'alumnes on es vol estudiar què esport practica o prefereix cada estudiant. Les opcions de l'enquesta són: bàsquet, natació, futbol i no practica cap esport. S'hi recullen les respostes i s'elabora una taula amb les freqüències.
Suposem que després de preguntar a tots els alumnes s'obté una distribució semblant a aquesta: un grup juga a bàsquet, un altre practica natació, un altre juga al futbol i la resta de la classe no fa esport regularment. Cadascun daquests grups té una freqüència absoluta concreta, que sumada dóna el nombre total dalumnes de la classe.
Per construir el diagrama de sectors, el primer pas consisteix a calcular l'angle corresponent a cada esport ia la categoria “no practica esport”. Per fer-ho, s'aplica una regla de tres utilitzant com a referència els 360° de la circumferència que representen el total d'estudiants de la classe.
El procés es resumeix en plantejar la proporcionalitat directa entre el nombre dalumnes de cada esport i el total, i entre l angle de cada sector i els 360°. Així, podem obtenir, per exemple, quants graus cal assignar al sector del futbol o al de la natació segons la quantitat d'alumnes de cada grup.
Encara que a l'enunciat s'esmenta un “diagrama de vectors”, en realitat el que s'acaba construint és un diagrama de sectors clàssic, on cada tipus d'esport queda representat per un tros del cercle, facilitant d'una ullada veure quina activitat és la més practicada i quina la menys freqüent.
Exemple detallat: gràfic d'esports preferits
Vegem ara un exemple més complet amb dades numèriques concretes. Un company de Marta fa una enquesta als seus companys de classe per saber quin és el seu esport preferit, i recull les respostes en una taula on apareixen les freqüències absolutes, relatives, percentatges i els graus de cada sector.
La taula queda com segueix: per Dansa hi ha 5 alumnes (freqüència absoluta 5), per Futbol hi ha 8 alumnes, per Tennis n'hi ha 2, per Bàsquet n'hi ha 3 i per Atletisme hi ha 2. La suma de totes les freqüències absolutes és 20 alumnes en total.
Si es calculen les freqüències relatives, s'obté que Dansa té una freqüència relativa de 0,25 (25%), Futbol una de 0,4 (40%), Tenis una de 0,1 (10%), Bàsquet una de 0,15 (15%) i Atletisme una altra de 0,1 (10%). En sumar totes les freqüències relatives, el resultat és 1, cosa que equival al 100 % dels alumnes.
Per trobar els graus de cada sector, s'aplica la fórmula dels graus en funció de la freqüència relativa. Per exemple, per a Dansa es calcula 0,25 × 360° = 90°. Per a Futbol es fa 0,4 × 360° = 144°. Per a Tennis, 0,1 × 360° = 36°. Per a Bàsquet, 0,15 × 360 ° = 54 °. Per a Atletisme, novament 0,1 × 360° = 36°.
Si sumem les amplituds de tots els sectors: 90° + 144° + 36° + 54° + 36°, el resultat és 360 °, cosa que confirma que hem distribuït correctament el cercle complet entre les cinc categories esportives de l'enquesta.
Un altre cas pràctic: fruites preferides en una classe
En una altra classe es fa una enquesta amb la pregunta “Quina és la teva fruita preferida?”. A partir de les respostes dels alumnes s'elabora una taula de dades amb la quantitat d'estudiants que prefereix cada fruita, i després aquesta informació es representa en un diagrama de sectors per visualitzar les proporcions.
Les quatre fruites considerades a l'exemple són: mànec, maduixa, raïm i poma. El total d'alumnes enquestats és 30. D'ells, 12 trien mango, 6 prefereixen maduixa, 7 opten per raïm i 5 es queden amb la poma com a fruita preferida.
Per construir el diagrama de sectors es parteix de la idea que la mesura de la superfície de cada sector és directament proporcional a l'angle central que el defineix. Per això, s'empra novament una relació de proporcionalitat directa entre quantitat d'alumnes i graus del cercle.
En el cas del mànec, la proporció es planteja així: 30 estudiants corresponen als 360° de la circumferència completa, mentre que 12 estudiants corresponen a l'angle del sector que representa aquesta fruita. D'aquesta manera, l'angle del mànec es calcula amb l'expressió 360° × 12/30, resultant un angle de 144°.
Repetint el mateix procediment per a la resta de fruites s'obtenen els angles següents: per maduixa, l'angle és 360° × 6/30 = 72°; per raïm, 360° × 7/30 = 84°; per poma, 360° × 5/30 = 60°. En sumar els quatre angles, 144° + 72° + 84° + 60°, es recuperen els 360° totals de la circumferència.
Aquest exemple mostra amb claredat com, partint únicament de les freqüències absolutes de cada categoria (el nombre d'alumnes que escull cada fruita), és possible construir-ne un diagrama de sectors complet que reflecteix visualment la distribució de preferències dins de la classe.
Com es construeix un diagrama de sectors pas a pas
La construcció dun diagrama de sectors implica combinar càlcul numèric i representació gràfica. Tot i que a la pràctica moltes vegades es recorre a programes informàtics que fan el dibuix automàticament, és important conèixer el procés manual per entendre bé què està mostrant el gràfic.
El primer pas sempre consisteix a elaborar una taula de freqüències a partir de les dades recollides. S'hi anoten les categories de la variable (per exemple, cada esport o cada fruita), les freqüències absolutes, les freqüències relatives i, si es vol, els percentatges. Aquesta taula és la base de tot el procés.
A continuació, per a cada categoria es calcula el angle del sector. Es pot fer amb qualsevol de les tres vies: usant la freqüència relativa, la freqüència absoluta o el percentatge. El que és fonamental és mantenir el mateix criteri per a totes les categories i comprovar que la suma d'angles arriba als 360°.
Un cop coneguts els graus corresponents a cada sector, es dibuixa una circumferència amb un compàs i es marca el centre del cercle. Amb un transportador d'angles es van traçant, des d'un radi inicial, els diferents sectors amb l'amplitud que els correspon, col·locant-ne un a continuació fins completar el cercle.
Per acabar, es poden afegir colors diferenciats per a cada sector i una llegenda que indiqui a quina categoria representa cada tros del cercle. D'aquesta manera, el diagrama de sectors esdevé una eina visual molt intuïtiva que ajuda a interpretar ràpidament les proporcions.
Quan convé fer servir un diagrama de sectors
Els diagrames de sectors es poden utilitzar amb tota mena de variables, però es fan servir amb especial freqüència en el cas de les variables qualitatives, en què interessa mostrar com es distribueix la població entre diferents categories sense ordre inherent.
Són molt útils quan es vol ressaltar la relació part-tot, és a dir, quan necessitem veure d'una ullada quina fracció del total representa cada categoria. Per exemple, quin percentatge de clients escull cada producte, com es reparteix el pressupost entre diferents departaments o quina proporció de vots rep cada partit en una elecció.
També són adequats quan el nombre de categories no és excessiu. Amb poques categories (per exemple, entre 3 i 6) el gràfic s'interpreta clarament. Tot i això, quan hi ha massa categories o les diferències entre elles són molt petites, el diagrama de sectors perd llegibilitat i pot ser preferible recórrer a altres tipus de gràfics, com els diagrames de barres.
Tant a nivell educatiu com en contextos com l'economia o les finances, el diagrama de sectors s'utilitza per acostar les dades a persones que potser no estiguin acostumades al llenguatge estadístic. La seva principal fortalesa és que permet comparacions visuals ràpides entre les diferents parts del conjunt total.
En el terreny de l'educació financera, per exemple, és molt comú veure diagrames de sectors que mostren el repartiment de la despesa una família o una empresa: quant es destina a habitatge, transport, alimentació, lleure, estalvi, etc. Amb una simple ullada s'aprecia quina partida està absorbint més recursos.
En definitiva, el diagrama de sectors és un recurs gràfic molt potent per mostrar com es reparteix un total entre diverses parts usant un cercle dividit en porcions proporcionades. Darrere de cada sector hi ha càlculs senzills però precisos basats en freqüències, percentatges i angles, cosa que garanteix que la representació sigui fidel a les dades originals i que el lector pugui interpretar la informació amb rapidesa i sense necessitat de grans coneixements estadístics.
